層の理論：その2 - Rei Frontier Tech Blog

レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です．
前回の続きを書いていきます．

層（続）
前層

層（続）

定義4.（台）$s \in \Gamma(W; \mathscr{F})$とする．このとき，$$\mathrm{supp} s = \{ x \in W ; s(x) \not= 0(x) \}$$とおき，切断$s$の台という．

補題4より，$\mathrm{supp} s $は$W$の閉集合です．
いま，$S$を$W$の閉部分集合とします．このとき，$$\Gamma_s(W;\mathscr{F}) = \{s \in \Gamma(W;\mathscr{F}) ; \mathrm{supp} s \subset S\}$$とおきます．自然な写像のなす列と，$$0 \rightarrow \Gamma_s(W;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma(W; \mathscr{F}) \rightarrow \Gamma(W \setminus S ; \mathscr{F})$$は完全列です．$W$と$W^\prime$をともに$S$の開近傍としたとき，$\Gamma_S(W;\mathscr{F})$と$\Gamma_S(W^\prime ; \mathscr{F})$は同型です．

ここで，新たに記号を導入します：

定義5.$S$を$X$の局所閉集合とする．$\mathfrak{R}(S)$で$S$の開近傍の全体を表し，包含関係で順序づけ，有向集合とする．$$\Gamma[S; \mathscr{F}] = \mathrm{ind-}\lim{W \in \mathfrak{R}(S)} \Gamma_S(W; \mathscr{F})$$とおく．

任意の$W \in \mathfrak{R}(S)$に対し，標準的写像$$\Gamma_S(W;\mathscr{F}) \to \Gamma[S;\mathscr{F}]$$は同型です．もし$S$が開集合ならば，$S\in \mathfrak{R}(S)$で$\Gamma_S(S;\mathscr{F}) = \Gamma(S;\mathscr{F})$であるので，$$\Gamma(S;\mathscr{F}) \to \Gamma[S;\mathscr{F}]$$は同型です．$\Gamma[S;\mathscr{F}]$を$\mathscr{F}[S]$と書くこともあります．

もう一つ，記号を導入します：

定義6.$Y$を$X$の部分集合とする．$$\mathscr{F}(Y) = \mathrm{ind-}\lim_{W \supset Y} \Gamma(W;\mathscr{F})$$とおく．ここで$W$は$Y$を含む開集合の全体にわたる．

$Y$が開集合ならば$$\mathscr{F}(Y) = \Gamma(Y; \mathscr{F})$$ですが，一般の部分集合$Y$に対しては$\mathscr{F}(Y)$から$\Gamma(Y;\mathscr{F})$への自然な（制限）写像は必ずしも同型とは限りません．

定義7.（台の族）次の3つの条件をみたす$X$の部分集合の族$\Phi$を台の族(family of supports)という：
(1) $A \in \Phi$は閉集合．
(2) $A \in \Phi, A_1 \subset A$で$A_1$が閉ならば$A_1 \in \Phi$．
(3) $A_1,A_2 \in \Phi$ならば$A_1\cup A_2 \in \Phi$．

例えば，$$\Phi_X = \{ A; A はXの閉集合\}$$とおけば，$\Phi_X$は$X$の台の族となっています．いま，$\Phi$を台の族とします．$X$の部分集合$S$に対して，$$\Phi |_S = \{ A \in \Phi ; A \subset S\}$$は$X$の台の族です．$$\Phi \cap S = \{ A \cap S ; A \in \Phi \}$$とおくと，$\Phi \cap S$は$S$の中で台の族をなしています．$S \subset X$に対し，$$\Phi_S = \Phi_X |_S = \{ A ; A \subset S かつ A は X で閉\}$$とおきます．$S$が$X$の閉集合ならば，$\Phi_S = \Phi_X \cap S$が成り立ちます．

$\mathscr{F}$ を$X$上の層とし，$\Phi$を台の族とするとき，$$\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) = \{ s \in \Gamma(X;\mathscr{F}) ; \mathrm{supp} s \in \Phi\}$$とおきます．$\Phi$は台の族であるということから，$\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F})$はAbel群となります．
$S \subset X$を閉集合としたとき，次の式が成り立ちます：$$\Gamma_S(X;\mathscr{F}) = \Gamma_{\Phi_S}(X;\mathscr{F})$$とくに，$$\Gamma(X;\mathscr{F}) = \Gamma_{\Phi_X}(X;\mathscr{F})$$です．$\mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F}$が層の準同型であるとすれば，$s^\prime \in \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^\prime)$に$i \circ s^\prime \in \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F})$を対応させることにより，Abel群の準同型$$\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^\prime) \xrightarrow{i} \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F})$$が定まります．このとき，次の命題が成立します：

命題2.$\Phi$を$X$の台の族とする．$$0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}^{\prime \prime}$$が$X$上の層の完全列であれば，誘導されるAbel群の準同型の列$$0\rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^\prime) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^{\prime \prime})$$も完全である．

前層

定義8.（前層）$X$を位相空間，$\mathfrak{W}$をその開被覆(open covering)とする．すなわち，$$X = \cup\{W; W \in \mathfrak{W} \}$$であるとする．次の性質を満足する$ (F, \rho )$の組を，$\mathfrak{W}$上の（Abel群の）前層(presheaf)という：
(1) 任意の$W_1 \in \mathfrak{W}$に対し，Abel群$F(W)$が対応する．
(2) $W_1 \supset W_2$なる$W_1, W_2 \in \mathfrak{W}$に対し，Abel群の準同型$$\rho _{W_2} ^{W_1} : F(W_1) \to F(W_2)$$が対応する．
(3) $\rho _W ^W = \mathrm{id}$．
(4) $W_1 \supset W_2 \supset W_3$なる$W_1, W_2, W_3 \in \mathfrak{W}$に対し，次の図式が可換である：
f:id:reifrontier:20180202140519p:plain:w200

f:id:reifrontier:20180202140519p:plain:w200

$\mathfrak{W}$が$X$のすべての開集合よりなる被覆の場合は，$\mathfrak{W}$上の前層を$X$上の前層といいます．
$F(W)$が環で，$\rho _{W_2} ^{W_1}$が環の準同型であるとき，$ (F,\rho) $を$\mathfrak{W}$上の環の前層といいます．$ (G, \rho )$が$\mathfrak{W}$上の環の前層とします．このとき，$\mathfrak{W}$上のAbel群の前層$ (F,\rho ) $が$G$-加群の前層であるとは，各$F(W)$が$G(W) $-加群で，なおかつ$\rho _{W_2} ^{W_1} : F(W_1) \to F(W_2)$が次の意味で加群の準同型となることをいいます：

任意の$f \in F(W_1)$と$g \in F(W_1)$に対し，$$\rho _{W_2} ^{W_1}(gf) = \rho _{W_2} ^{W_1}(g)\rho _{W_2} ^{W_1}(f)$$

前層の例をいくつか挙げておきます：

例1.$X$を位相空間，$M$をAbel群とする．$X$の開集合$W$に対して$F(W)=M$とおき，$W_1 \supset W_2$に対しては$\rho_{W_2}^{W_1} = \mathrm{id}$とすれば，$X$上のAbel群の前層が定義される．これを定数前層(constant presheaf)といい，$M = M_X$で表す．もし$M$が環構造をもてば，定数前層$M_X$は環の前層の構造をもつ．

例2.$X$を位相空間とする．$F(W) = \mathbb{C}^W = (W上の\mathbb{C}値関数の全体) $とおき，$\rho_{W_2}^{W_1}$を通常の制限写像とする．こうして定義される$X$上の環の前層を，任意関数の前層という．

例3.$m = 0,1,2,\ldots , \infty $とする．$\mathbb{R}^n$の開集合$u$に対し，$C^m(u)$で$m$回連続微分可能な関数の全体のなす環を表す．$\rho_{u_2}^{u_1}$は通常の制限写像であるとすれば，$\mathbb{R}^n$上の環の前層が定まる．これを$C^m$で表そう．
また，$\mathscr{D}^\prime (u)$で$u$上のSchwartz超関数の全体，$\rho_{u_2}^{u_1}$をSchwartz超関数の制限写像とすると，$\mathscr{D}^\prime$は$\mathbb{R}^n$の$C^\infty$-加群の前層をなす．

例4.$u$を$\mathbb{R}^n$の開集合としたとき，$W$に$L^p(u) = (p乗\text{Lebesgue}可積分関数の全体) $を対応させ，$\rho_{u_2}^{u_1}$を制限写像とすると，$\mathbb{R}^n$上に前層が定まる．

以下，Abel群の前層を単に前層と呼びます．

定義9.（準層の準同型）開被覆$\mathfrak{W}$上の前層$ (F, \rho )$と$ (F^\prime , \rho^\prime )$が与えられたとき，$ (F, \rho )$から$ (F^\prime , \rho^\prime )$への準同型$\mu$とは，各$W \in \mathfrak{W}$に対して定まったAbel群の準同型$$\mu_W : F(W) \to F^\prime(W)$$の組であって，$W_1 \supset W_2$，$W_1, W_2 \in \mathfrak{W}$に対して次の図式が可換であるものをいう：
f:id:reifrontier:20180202143359p:plain:w200

f:id:reifrontier:20180202143359p:plain:w200

$ (F, \rho )$と$ (F^\prime , \rho^\prime )$が環の前層のとき，$\mu$が環の前層の準同型であるとは，上の条件の他に，$\mu_W$が環の準同型でもあるときにいいます．同様に，環の前層を係数にもつ加群の前層の準同型も定義されます．
$F(W)$が$F^\prime(W)$の部分群で，$\rho_{W_2}^{W_1}$が$\rho_{W_2}^{\prime W_1}$の制限であれば，$\mu_W$を標準的単射として$ (F, \rho) \to (F^\prime , \rho^\prime )$なる前層の準同型が定まります．このとき，$ (F, \rho) $は$ (F^\prime, \rho^\prime )$の部分前層であるといいます．

例5.$m \leq m^\prime$ならば，$C^{m^\prime}$は$C^m$の部分前層である．

次回に続きます．