層の理論：その3 - Rei Frontier Tech Blog

レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です．
前回の続きを書いていきます．

前層（続）
層係数コホモロジー

前層（続）

前層と層の関係を調べるため，$X$の開被覆$\mathfrak{W}$に対し以下のような条件を仮定します：

仮定1.$\mathfrak{W}$は次の条件(W1),
(W2)をみたす：
(W1) 任意の$x \in X$に対して，$$\mathfrak{W}_x = \{ W \in \mathfrak{W} ; x \in W \}$$は$x$の基本近傍系をなす．
(W2) $W_1 , W_2 \in \mathfrak{W}$ならば$W_1 \cap W_2 \in \mathfrak{W}$．

定義10.（芽）$ (F, \rho ) $を$X$の開被覆$\mathfrak{W}$上の前層とする．$\mathfrak{W}_x$に包含関係による順序をいれると有向集合になる．$\rho _{W_2} ^{W_1}$に関して帰納極限をとり,
$$\mathscr{F}_x = \mathrm{ind-}\lim\{F(W) ; W \in \mathfrak{W}_x\}$$とおく．$\mathscr{F}_x$は自然にAbel群の構造をもつ．$\mathscr{F}_x$を前層$ (F, \rho) $の$x$における芽(germ)という．$F(W)$により$\mathscr{F}_x$への標準的写像による$f\in F(W)$の像を$f_x$と書き，$f$の$x$における芽という．

$$\mathscr{F} = \bigsqcup \{\mathscr{F}_x ; x \in X\}$$とおきます．ここで，$\sqcup$は$x \not= y$のとき$\mathscr{F}_x$と$\mathscr{F}_y$は互いに素であるとして合併をとることを意味します．$\mathscr{F}$に$$\{ \{ f_x ; x \in X \} ; f \in F(W) , W \in \mathfrak{W} \}$$を開基とする位相を導入します．$ \pi : \mathscr{F} \to X $を$ \pi(f_x) = x$によって定めます．$\pi$は全射であり，$\mathscr{F}$の位相の入れ方により，$\pi$は局所位相同型です．$ (\mathscr{F}, \pi ) $は$X$上の層となっています．この層を前層$ (F, \rho ) $に同伴する層，あるいは$ F$の芽のなす層と呼びます．
帰納極限の性質により，次の命題が成り立ちます：

命題3.$ (F, \rho ) , (F^\prime, \rho^\prime ) , (F^{\prime \prime }, \rho^{\prime \prime} ) $を前層とし，$(\mathscr{F},\pi),(\mathscr{F}^\prime,\pi^\prime),(\mathscr{F}^{\prime \prime},\pi^{\prime \prime })$をそれぞれに同伴する層とする．$\mu : F \to F^\prime $なる前層の準同型があれば，$h_\mu :\mathscr{F} \to \mathscr{F}^\prime$なる層の準同型が自然に定義でき，次の性質をもつ：
(1) $\mu = \mathrm{id} $ならば$h_\mu =\mathrm{id}$．
(2) $\mu_1 : F \to F^\prime$，$\mu_2 : F^{\prime \prime }\to F$が前層の準同型ならば，$$h_{\mu_1 \circ \mu_2} = h_{\mu_1} \circ h_{\mu_2}.$$

いま，逆に$X$上に層$\mathscr{F}$が与えられたとすれば，$X$の開集合$W$に$\Gamma(W;\mathscr{F})$を対応させると，$X$上の前層$\Gamma(\quad ;\mathscr{F})$が定まります（実際，$W_1 \supset W_2 $のとき$\Gamma(W_1 ;\mathscr{F}) \to \Gamma(W_2 ;\mathscr{F})$を切断の制限写像とすればよい）．$\Gamma(\quad ;\mathscr{F})$を$\mathscr{F}$の切断の前層といいます．前層$\Gamma(\quad ;\mathscr{F})$に同伴する層はもとの層$\mathscr{F}$と同型です．

$\mathfrak{W}$を条件(W1),(W2)をみたす$X$の開被覆とします．$F$を$\mathfrak{W}$上の前層とし，$\mathscr{F}$で$F$に同伴する層を表します．$f \in F(W)$に対し，$$\sigma_W(f)(x) = f_x, \qquad x \in W$$で$\sigma_W(f) \in \Gamma(W;\mathscr{F})$を対応させることにより，$$\sigma_W : F(W) \to \Gamma(W;\mathscr{F})$$なる前層の準同型が定義されます．

命題4.任意の$W \in \mathfrak{W}$に対し，上のように定めた$\sigma_W$が単射であるための必要十分条件は，次のようである：
(S1) $W,W_\alpha \in \mathfrak{W}, \alpha \in A$で$ W = \cup \{W_\alpha ; \alpha \in A\}$なるものと$f \in F(W)$に対し，$$任意の \alpha \in Aに対し
\rho _{W_\alpha} ^W f = 0 ならば f = 0.$$

(証明) $f \in F(W)$が$\sigma_W(f) = 0$をみたすとする．条件(W1)により，任意の$x \in W$に対して$x$の近傍$W_x \subset W , W_x \in \mathfrak{W}$が存在して，$\rho _{W_x} ^W f = 0$となる．$W = \cup \{ W_x ; x \in W \}$であるから，条件(S1)により$f = 0$．逆も同様に示される．■

命題5.条件(S1)を仮定する．任意の$W \in \mathfrak{W}$に対し，$\sigma_W$が全射となるための必要十分条件は，次のようである：
(S2) $W , W_\alpha \in \mathfrak{W} , \alpha \in A$で$W = \cup \{ W_\alpha ; \alpha \in A \}$なるものと$f_\alpha \in F(W_\alpha) $に対し，張り合わせの条件$$任意の\alpha, \beta \in A に対し，\rho _{W_\alpha \cap W_\beta} ^{W_\alpha} f_\alpha = \rho _{W_\alpha \cap W_\beta} ^{W_\beta} f_\beta$$が成立すれば，$f \in F(W)$が存在して，任意の$\alpha \in A$に対して$$\rho _{W_\alpha} ^{W} f = f_\alpha$$をみたす．

(証明) (S2)を仮定する．$s \in \Gamma(W;\mathscr{F}) $とする．任意の$x \in W$に対して，$x$の近傍$W_x \in \mathfrak{W} , W_x \subset W$と$f^x \in F(W_x)$が存在して，$$\sigma_{W_x}(f^x) = s|_{W_x}$$が成立する．$\sigma_{W_x}$は単射であると仮定したので，$s$が切断であることにより，$f^x \in F(W_x)$は張り合わせの条件をみたす．ゆえに，(S2)より$f \in F(W)$が存在して，$\rho _{W_x} ^W f = f^x$．したがって，$$\sigma_W(f)(x) = f_x = (f^x)_x = s(x)$$である．逆も同様．■

(W1),(W2)をみたす被覆$\mathfrak{W}$上で定義された前層$F$が条件(S1),(S2)をみたすとき，$F$は層である，ということもあります．このとき，$\mathscr{F}$を前層$F$に同伴する層とすれば，$W \in \mathfrak{W}$に対し，同型$\sigma_W : F(W) \to \Gamma(W;\mathscr{F})$により，$F(W)$と$\Gamma(W;\mathscr{F})$を同一視します．このようにして，$F$と$\mathscr{F}$は完全に対応しているので，このような呼び方による混乱は生じません．条件(S1),(S2)を局所化(localization)の条件といいます．(S1)は，「局所的にゼロならば，大域的にもゼロ」あるいは「局所的に一致すれば大域的にも一致」を意味します．(S2)は，局所的に与えられた切断が張り合わせの条件をみたせば，それらを張り合わせて大域的な切断が作れる，ということを意味します．

層係数コホモロジー

定義11.（軟弱層）$X$上の層$\mathscr{F}$が軟弱(flabby)であるとは，$X$の任意の開集合$W$に対し，制限写像$$\Gamma(X;\mathscr{F}) \to \Gamma(W;\mathscr{F})$$が全射となることとする．

系1.$W_1$と$W_2$を$W_1 \supset W_2$なる$X$の開集合とすれば，軟弱層$\mathscr{F}$に対し，$$\Gamma(W_1;\mathscr{F}) \to \Gamma(W_2;\mathscr{F})$$は全射である．

定理1.$\Phi$を$X$上の台の族，$\mathscr{F},\mathscr{F}^\prime , \mathscr{F}^{\prime \prime}$を$X$上の層とし，$\mathscr{F}^\prime$は軟弱であると仮定する．もし，$$0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F} \xrightarrow{h} \mathscr{F}^{\prime \prime} \rightarrow 0 \qquad \cdots (\ast)$$が完全であれば，$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^\prime) \xrightarrow{i} \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \xrightarrow{h} \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^{\prime \prime}) \rightarrow 0$$も完全である．

(証明) 命題2があるので，$\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \to \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^{\prime \prime})$が全射であることを示せばよい．$s^{\prime \prime} \in \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^{\prime \prime })$に対して，次の対$ (s, V) $を考える：

$V$は$X$の開集合で，$s \in \Gamma_{\Phi \cap V}(V; \mathscr{F})$は条件$$h(s) = s^{\prime \prime}|_V, \mathrm{supp} s \subset \mathrm{supp} s^{\prime \prime}$$をみたす．

列$ (ast) $は完全であるから，これらの対の全体$ \{ (s, V) \} $は空ではない．いま，$V_1 \supset V_2$かつ$V_2$上で$s_1 = s_2$となるとき$ (s_1, V_1) \geq (s_2, V_2) $と順序を定義すれば，$ \{ (s, V) \} $は帰納的順序集合をなす．
Zornの補題により存在が保証される，$\mathrm{supp} s^{\prime \prime }$の補集合上のゼロ切断より大きな極大元を$ (s,V) $とする（$\mathrm{supp} s^{\prime \prime } = X$ならば任意の極大元をとればよい）．$V = X$となることを背理法によって示そう．
$V \not= X$とする．すなわち，$x \not\in V$が存在すると仮定する．$ (\ast )$の完全性により，$x$の近傍$ V(x) $と$s_1 \in \Gamma(V(X); \mathscr{F})$をみつけて$h(s_1) = s^{\prime \prime } |_{V(x)}$としてよい．したがって，$V \cap V(x)$上では$h(s_1 - s) = 0$が成り立つ．命題2により，$s^\prime \in \Gamma(V\cap V(X); \mathscr{F}^\prime )$が存在して，$i(s^\prime ) = s - s_1$となる．$\mathscr{F}^\prime $は軟弱層と仮定したから，$s^\prime $の拡張$s_1^\prime \in \Gamma(X ; \mathscr{F}^\prime)$が存在する．いま，$$\tilde S(x) = \begin{cases} s(x) & x \in V \\ s_1(x) + i(s_1^\prime )(x) & x \in V(x) \end{cases}$$とおけば，$\tilde s \in \Gamma(V \cup V(x) ; \mathscr{F})$かつ$h(\tilde s) = s^{\prime \prime}$となる．$\mathrm{supp} \tilde s \subset \mathrm{supp} s^{\prime \prime} \cap ( V \cup V(x))$．これは$ (s,V) $の極大性に反する．■

系2.
(i) 層の完全列$$0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}^{\prime \prime} \rightarrow 0$$において，$\mathscr{F}^\prime$と$\mathscr{F}$がともに軟弱層であれば，$\mathscr{F}^{\prime \prime}$も軟弱層である．
(ii) 層の系列$$0 \rightarrow \mathscr{F}^0 \rightarrow \mathscr{F}^1 \rightarrow \mathscr{F}^2 \rightarrow \cdots \rightarrow \mathscr{F}^m \rightarrow 0$$が層の完全列であれば，$\mathscr{F}^j (0 \leq j \leq m-1)$の軟弱性より$\mathscr{F}^m$の軟弱性がしたがう．

(証明)
(i)次の可換図式により明らか：
f:id:reifrontier:20180202181833p:plain:w300

(ii) $\mathscr{Z}^j = \mathrm{Ker} (\mathscr{F}^j \to \mathscr{F}^{j+1}) = \mathrm{Im} (\mathscr{F}^{j-1} \to \mathscr{F}^j)$とおけば，$\mathscr{Z}^1 = \mathscr{F}^0 , \mathscr{Z}^m = \mathscr{F}^m$で，$$0 \rightarrow \mathscr{Z}^j \rightarrow \mathscr{F}^j \rightarrow \mathscr{Z}^{j+1} \rightarrow 0$$は完全である．まとめれば，次の可換図式となる：
f:id:reifrontier:20180202183336p:plain:w600

f:id:reifrontier:20180202183336p:plain:w600

短い完全列の各々に(i)を適用すれば，すべての$\mathscr{Z}^j$は軟弱．とくに，$\mathscr{Z}^m = \mathscr{F}^m$も軟弱である．■

系3.層の完全列$$0 \rightarrow \mathscr{F}^0 \rightarrow \mathscr{F}^1 \rightarrow \mathscr{F}^2 \rightarrow \cdots \qquad \cdots ( \ast \ast )$$において，各$\mathscr{F}^j , j = 0,1,2,\ldots $がすべて軟弱層ならば，Abel群の列$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^0) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^1) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}^2) \rightarrow \cdots$$も完全である．

(証明) 完全列$ (\ast \ast ) $を，系2(ii)の証明と同様に，短い完全列$ 0 \rightarrow \mathscr{Z}^j \rightarrow \mathscr{F}^j \rightarrow \mathscr{Z}^{j+1} \rightarrow 0 $に分解する．系2(ii)により，$\mathscr{Z}^j$はすべて軟弱である．よって，短い完全列の各々に定理1を適用すればよい．■

定義12.（軟弱分解）層$\mathscr{F}$の軟弱分解(flabby resolution)とは，$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \mathscr{L}^2 \rightarrow \cdots \qquad \cdots (\star )$$なる層の完全列で，各$\mathscr{L}^j , j = 0,1,2,\ldots $が軟弱層であるものをいう．
$ (\star )$を$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^\ast$$と略記することがある．

さて，$X$上の任意の層$\mathscr{F}$に対して$\mathscr{F}$の軟弱分解が存在することを示してみましょう．
$\mathscr{C}^0(W;\mathscr{F})$を，開集合$W$から$\mathscr{F}$への任意の写像$s$で，$\pi \circ s = \mathrm{id}$をみたすものの全体とします．ただし，$\pi : \mathscr{F} \to X$は層の射影です．$W \mapsto \mathscr{C}^0(W;\mathscr{F})$は前層で，局所化の条件(S1),(S2)を満たしています．これに同伴する層を$\mathscr{C}^0(\mathscr{F})$と書くと，$$\mathscr{C}^0(W;\mathscr{F}) = \Gamma(W;\mathscr{C}^0(\mathscr{F}))$$で，$\mathscr{C}^0(\mathscr{F})$は軟弱層です．
$\mathscr{C}^0(\mathscr{F})$の定義により，$\mathscr{F} \to \mathscr{C}^0(\mathscr{F})$なる自然な単射が存在します．この余核を$\mathscr{Z}^0(\mathscr{F})$で表します．すなわち，$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^0(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{Z}^0(\mathscr{F}) \rightarrow 0$$は完全列です．帰納的に，$$0 \rightarrow \mathscr{Z}^{j-1}(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^0(\mathscr{Z}^{j-1}(\mathscr{F})) \rightarrow \mathscr{Z}^j(\mathscr{F}) \rightarrow 0$$が完全列になるように層$\mathscr{Z}^j(\mathscr{F}) , j = 1,2,\ldots $を定めて$$\mathscr{C}^j(\mathscr{F}) = \mathscr{C}^0(\mathscr{Z}^{j-1}(\mathscr{F})) ,\quad j = 1,2,\ldots$$とおけば$\mathscr{C}^j(\mathscr{F})$はすべて軟弱層であって，$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^0(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^1(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^2(\mathscr{F}) \rightarrow \cdots \qquad \cdots ( \star \star )$$は完全列です．$ ( \star \star ) $を$\mathscr{F}$の標準的軟弱分解(canonical flabby resolution)といい，$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^\ast (\mathscr{F})$で表します．

定理2.$ (\ast) $を層の完全列とすれば，次の層の複体の完全列（きちんとした定義は後に述べる）が自然に定義される：$$0 \rightarrow \mathscr{C}^*(\mathscr{F}^\prime) \rightarrow \mathscr{C}^*(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^*(\mathscr{F}^{\prime \prime}) \rightarrow 0$$

(証明) 次の図式を考える：
f:id:reifrontier:20180205143109p:plain:w500

全ての列と第一行と第二行は完全であるから，9-lemmaにより第三行の完全性が出る．以下，これを繰り返せばよい．■

次回に続きます．