層の理論：その4

レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です．
前回の続きを書いていきます．

層係数コホモロジー（続）

定義13.（コホモロジー）

\(\mathscr{F}\)を\(X\)上の層，\(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^\ast (\mathscr{F})\)を\(\mathscr{F}\)の標準的軟弱分解とする．このとき，
$$\begin{align} Z_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= \mathrm{Ker}\{ \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^p(\mathscr{F})) \to \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^{p+1}(\mathscr{F})) \}\\
B_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= \mathrm{Im}\{ \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^{p-1}(\mathscr{F})) \to \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^p(\mathscr{F})) \} \\
H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= Z_\Phi^p(X;\mathscr{F}) / B_\Phi^p(X;\mathscr{F}) \end{align}$$とおく．ここで，\(\mathscr{C}^{-1}(\mathscr{F}) = 0\)と約束する．\(H_\Phi^p(X;\mathscr{F})\)を，\(\mathscr{F}\)に係数をもち\(\Phi\)に台をもつ\(p\)次のコホモロジー群(cohomology group)という．

コホモロジー群の基本的な性質を示すために，ホモロジー代数の一般論から以下の補題を用意します（詳細は，例えば一松信『多変数解析函数論』p.181を見よ）：

補題5.

いま，$$0 \rightarrow A^\ast \xrightarrow{\mu} B^\ast \xrightarrow{\nu} C^\ast \rightarrow 0$$が複体の完全列とすれば，次のコホモロジー群の完全列が定義できる：$$\begin{align}
0 &\rightarrow H^0(A^\ast) \rightarrow H^0(B^\ast) \rightarrow H^0(C^\ast) \\ &\rightarrow H^1(A^\ast) \rightarrow H^1(B^\ast) \rightarrow H^1(C^\ast) \\ &\rightarrow H^2(A^\ast) \rightarrow H^2(B^\ast) \rightarrow H^2(C^\ast) \\ &\rightarrow H^3(A^\ast) \rightarrow \cdots \end{align}$$

定理3.

(i) \(H_\Phi^0(X;\mathscr{F}) = \Gamma_\Phi (X; \mathscr{F})\) である．
(ii) 完全列$$0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F} \xrightarrow{h} \mathscr{F}^{\prime \prime} \rightarrow 0 \qquad \cdots (\ast)$$が与えられれば，次の長完全列が存在する：$$\begin{align}0 &\rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}^\prime) \rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}) \rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}^{\prime \prime}) \\ &\rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}^\prime) \rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}) \rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}^{\prime \prime}) \\ &\rightarrow H_\Phi^2(X;\mathscr{F}^\prime ) \rightarrow \cdots \cdots \end{align}$$
(iii) 各行が層の完全列よりなる可換図式

が与えられたとき，次の図式は可換である：

(iv) \(\mathscr{F}\)が軟弱層ならば，$$H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) = 0 ,\ p>0$$．

(証明) (i) \( 0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^0(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^1(\mathscr{F})\)の完全性により，つぎの完全性がしたがう：$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^0(\mathscr{F})) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^1(\mathscr{F}))$$（命題2）．これが示すべきことである．
(ii) 定理1と定理2を組み合わせることにより，次の可換図式の各業の完全性が導かれる：

これと補題5から長完全列が構成できる．
(iii) 明らか．
(iv) \(\mathscr{F}\)の標準的軟弱分解において，\(\mathscr{F}\)を含めすべての項が軟弱層である．ゆえに，系3により，$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^0(\mathscr{F})) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^1(\mathscr{F}))$$は完全列である．これが示すべきことである．■

定義14.（層の複体）

層の複体(complex)とは，層\(\mathscr{L}^p ,\ p = 0,1,2,\ldots\)と準同型\(d^{\prime \prime}: \mathscr{L}^p \to \mathscr{L}^{p+1}\)の列$$0 \rightarrow \mathscr{L}^0 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^1 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^2 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \cdots$$で，\(d^{\prime \prime} \circ d^{\prime \prime} = 0\)なるものをいう．このとき，\(\mathscr{L}^\ast\)の\(p\)次のコホモロジー群とは，$$\mathscr{H}^p(\mathscr{L}^\ast) = \mathrm{Ker}(\mathscr{L}^p \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^{p+1}) / \mathrm{Im}(\mathscr{L}^{p-1} \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^p)$$なる商層のことである．

いま，\(\mathscr{C}^\ast(\mathscr{L}^q)\)を\(\mathscr{L}^q\)の標準的軟弱分解とし，$$\begin{align} d^\prime &: \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^q) \to \mathscr{C}^{p+1}(\mathscr{L}^q) \\ d^{\prime \prime} &: \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^q) \to \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^{q+1}) \end{align}$$を準同型とすると，$$K^{p,q} = \Gamma_\Phi(X, \mathscr{C}^\ast(\mathscr{L}^q)) ,\ K = \bigoplus _{p,q} K^{p,q} \qquad \cdots ( \natural )$$なる2重複体を考えることができます．

定理4.

\(\mathscr{F}\)を\(X\)上の層とする．$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots$$を\(\mathscr{F}\)のある分解，すなわち\(\mathscr{F}\)上の完全な複体とする．\(q = 0,1,2,\ldots\)に対し，$$H_\Phi^p(X;\mathscr{L}^q) = 0$$が成立すれば，$$H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) = H^p(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast)) \quad q \geq 0$$が成立する．ここで，\(H^p(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast))\)は複体\(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast)\)の\(p\)次のコホモロジー群を表す．

(証明) \( (\natural)\)の記号のもとで，以下の可換図式を考える．ただし，\(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F})\)を\(\Gamma_\Phi(\mathscr{F})\)と書くように，\(X\)を省略している：

コホモロジー群に関する仮定により，第二列以降の列はすべて完全である．また，\(\mathscr{C}^p(\mathscr{F})\)は軟弱であり，定理2により\(p = 0,1,2,\ldots\)に対し，$$0 \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^0) \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^1) \rightarrow \cdots$$は完全であるから，定理3(iv)により第一列のコホモロジー群と第一行のコホモロジー群は同型になる．これより結論を得る．■

系4.

$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots$$を層\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とすれば，定理4の同型が成立する．

(証明) 定理3(iv)により，定理4の仮定が成り立つ．■

相対コホモロジー群

定義15.（相対コホモロジー）

\(S\)を位相空間\(X\)の部分集合とするとき，$$\Phi_S = \{ A \subset X ; A \subset S かつ A は X で閉 \}$$は\(X\)で台の族をなす．この\(\Phi_S\)で$$H_S^p(X;\mathscr{F}) = H_{\Phi_S}^p(X;\mathscr{F})$$と定義し，\(S\)に台をもち\(\mathscr{F}\)に係数をもつ\(X\)の\(p\)次の相対コホモロジー群(relative cohomology group)という．\(S=X\)のときは次のように書く：$$H^p(X;\mathscr{F}) = H_X^p(X;\mathscr{F})$$

以下では，\(S\)が\(X\)の閉集合の場合のみ\(H_S^p(X;\mathscr{F})\)を考察することにします．もし\(S\)が閉集合ならば，\(\Phi_S\)は\(S\)の閉部分集合の全体と一致します．
相対コホモロジー群は，定理3の性質の他に，次の性質をもちます：

定理5.（切除定理）

\(S \subset X\)を局所閉，\(W_1 , W_2\)を\(S\)の開近傍とする．このとき，$$H_S^p(W_1;\mathscr{F}) \cong H_S^p(W_2;\mathscr{F})$$なる同型がある．

(証明) \(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots \)を\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とする．系4により，\(j = 1,2\)に対して$$H_S^p(W_j;\mathscr{F}) = H^p(\Gamma_S(W_j;\mathscr{L}^\ast))$$ゆえに\(\Gamma_S(W_1;\mathscr{L}^k) \cong \Gamma_S(W_2;\mathscr{L}^k)\)より望んでいた同型が得られる．■

定義16.

\(S \subset X\)は局所閉とする．$$H^p[S;\mathscr{F}] = \mathrm{ind-}\lim_{W \in \mathfrak{R}(S)}H_S^p(W;\mathscr{F})$$とおく．ここで\(\mathfrak{R}(S)\)は\(S\)の開近傍全体を表す．

切除定理により，\(W \in \mathfrak{R}(S)\)に対して標準的写像$$H_S^p(W;\mathscr{F}) \overset{\sim}\longrightarrow H^p[S;\mathscr{F}]$$は同型です．また，とくに\(S\)が開集合であれば$$H^p(S;\mathscr{F}) \cong H^p[S;\mathscr{F}]$$が成り立ちます．

定理6.

(i) \(S \subset X\)を局所閉，\(W \in \mathfrak{R}(S)\)とする．このとき，次の長完全列がある：$$\begin{align} 0 &\rightarrow H_S^0(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^0(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^0(W\setminus S;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_S^1(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^1(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^1(W\setminus S;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_S^2(W;\mathscr{F}) \rightarrow \cdots \end{align}$$ (ii) \(W_1 \supset W_2 \supset W_3\)を\(X\)の開集合とすれば，次の列は完全である：$$\begin{align} 0 &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^0(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_1 \setminus W_3}^0(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_2 \setminus W_3}^0(W_2;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^1(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_1 \setminus W_3}^1(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_2 \setminus W_3}^1(W_2;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^2(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow \cdots \end{align}$$

(証明) \(\mathscr{L}\)が軟弱層であるとすれば，系1より，列$$0 \rightarrow \Gamma_S(W;\mathscr{L}) \rightarrow \Gamma(W;\mathscr{L}) \rightarrow \Gamma_S(W\setminus S;\mathscr{L}) \rightarrow 0$$は完全である．したがって，\(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^\ast\)を\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とすれば，次の複体の列は完全である：$$0 \rightarrow \Gamma_S(W;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma(W;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_S(W\setminus S;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow 0$$ゆえに，補題5によりコホモロジー群の長完全列を得る．
(ii) 複体の完全列$$0 \rightarrow \Gamma_{W_1 \setminus W_2}(W_1;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_{W_1 \setminus W_3}(W_1;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_{W_2 \setminus W_3}(W_2;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow 0$$により結論を得る．■

系5.

\(S_1 \subset X\)を局所閉，\(S_2 \subset S_1\)を\(S_1\)の閉部分集合とする．このとき，次は完全列である：$$\begin{align} 0 &\rightarrow H^0[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow H^0[S_1;\mathscr{F}] \rightarrow H^0[S_1\setminus S_2;\mathscr{F}] \\ &\rightarrow H^1[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow H^1[S_1;\mathscr{F}] \rightarrow H^1[S_1\setminus S_2;\mathscr{F}] \\ &\rightarrow H^2[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow \cdots \end{align}$$

(証明2) \(S_1 = W_1 \setminus W_3 ,\ S_2 = W_1 \setminus W_2\)となるように\(W_1 \supset W_2 \supset W_3\)を選び，定理6(ii)を用いればよい．■

参考文献

[1] 森本光生(1976), "佐藤超関数入門", 共立出版