層の理論：その1 - Rei Frontier Tech Blog

層の定義と、その基本的な性質について述べます．

層

定義1（層）位相空間$X$上の（Abel群の）層(sheaf)とは，次のような組$(\mathscr{F}, \pi)$のことをいう：
(1) $\mathscr{F}$は位相空間．
(2) $\pi: \mathscr{F} \to X$は全射かつ局所位相同型．すなわち，任意の$p \in \mathscr{F}$に対してある開近傍$U$が存在して，$\pi(U)$が$X$の開集合で，$$\pi |_U : U \to \pi(U)$$が位相同型である．
(3) 任意の$x \in X$に対して，$$\mathscr{F}_x = \pi^{-1}(x)$$はAbel群．
(4) 次の意味で，群の演算は連続である：$$\mathscr{F} + \mathscr{F} = \{ (p_1, p_2) \in \mathscr{F} \times \mathscr{F} ; \pi(p_1) = \pi(p_2) \}$$とおくと，加法$ (p_1, p_2) \mapsto p_1 + p_2$は$\mathscr{F} + \mathscr{F}$から$\mathscr{F}$への写像であるが，これが連続である．

$\pi$を射影(projection)といい，$\mathscr{F}_x = \pi^{-1}(x)$を$x$上の茎(stalk)といいます．定義1の(2)により，射影は開写像であることが分かります．
\mathscr{F}を$X$上の層，$Y \subset X$を部分空間としたとき，$ (\pi^{-1}(Y), \pi |_{\pi^{-1}(Y)} ) $は$Y$上の層を与えます．ここで，$\pi^{-1}(Y)$には$\mathscr{F}$の開集合としたの位相を与えます．これを$\mathscr{F}|_Y$と書き，層$\mathscr{F}$の$Y$への制限といいます．
定義1において，「Abel群」を「環」でおきかえ，(4)で加法および乗法$ (p_1, p_2) \mapsto p_1 p_2$の連続性を仮定すれば，環の層が定義できます．いま$ (\mathscr{G}, \sigma) $を環の層として，Abel群の層$ (\mathscr{F}, \pi) $が$\mathscr{G} $-加群の層であるとは，

(1) 任意の$x \in X$に対して，$ \mathscr{F}_x$が$\mathscr{G}_x$-加群．
(2) $\mathscr{G} + \mathscr{F} = \{ (q,p) \in \mathscr{G} \times \mathscr{F} ; \sigma(q) = \pi(p) \} $から$\mathscr{F}$への写像$ (q,p) \mapsto q \cdot p $は連続．

をみたすことをいいます．

以下，混乱のない限り層といえばAbel群の層のことをさします．

定義2（層の準同型）$ (\mathscr{F}^\prime, \pi^\prime) $と$ (\mathscr{F}, \pi)$が$X$上の層であるとする．連続写像$ i : \mathscr{F}^\prime \to \mathscr{F}$が（層の）準同型(homomorphism)であるとは，
(1) 次の図式が可換である：
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ただし，$\mathrm{id}$は恒等写像を表す．
(2) $i$を$\mathscr{F}^\prime _x $に制限して，$ i_x : \mathscr{F}^\prime _x \to \mathscr{F}_x$を定めると，これはAbel群の準同型である．
の2条件を満たすことをいう．

$\mathscr{F}^\prime \subset \mathscr{F}$かつ恒等写像$\mathscr{F}^\prime \hookrightarrow \mathscr{F}$が層の準同型であるとき，$\mathscr{F}^\prime$は$\mathscr{F}$の部分層(subsheaf)であるといいます．$\mathscr{F}^\prime \subset \mathscr{F}$が$ \mathscr{F}$の部分層であるには，

(1) $\mathscr{F}^\prime$は$\mathscr{F}$の開集合．
(2) $\pi(\mathscr{F}^\prime) = x$．
(3) $\mathscr{F}^\prime_x \equiv \pi^{-1}(x) \cap \mathscr{F}^\prime $は$\mathscr{F}_x$の部分群．

の3条件を満たすことが必要十分です．$\mathscr{F}^\prime$が$\mathscr{F}$の部分層であるとき，$$\mathscr{F}^{\prime \prime } _x = \mathscr{F}_x / \mathscr{F}^\prime_x$$とおき，$h_x : \mathscr{F}_x \to \mathscr{F}^{\prime \prime}_x$を標準的全射とし，さらに$$\mathscr{F}^{\prime \prime} = \bigsqcup_{x \in X}\mathscr{F}^{\prime \prime}_x \ ,\ (直和) $$とおき，$h : \mathscr{F} \to \mathscr{F}^{\prime \prime}$を$h_x$の拡張として定義します．$\mathscr{F}^{\prime \prime}$に$h$による商位相をいれると，$\mathscr{F}^{\prime \prime }$はまた$X$上の層となっています．$\mathscr{F}^{\prime \prime}$を$\mathscr{F}^\prime / \mathscr{F}$と書き，商層(quotient sheaf)といいます．
環の層，環の層を係数とする加群の層に対しても，準同型が同様に定義できます．環の層の部分層，商層なども同様に定義されます．

定義2（層の切断）$ (\mathscr{F}, \pi) $を位相空間$X$上の層とする．$Y \subset X$に対して，$Y$から$\mathscr{F}$への連続写像$s$で，$\pi \circ s = \mathrm{id}$となるものを$Y$上の$\mathscr{F}$の切断(section)といい，その全体を$\Gamma(Y;\mathscr{F}) $と表す．切断に，$Y$の各点上で茎$\mathscr{F}_x$の演算を施すことにより，$\Gamma(Y;\mathscr{F})$はAbel群となる．

$x \in X$を固定し，$p \in \pi^{-1} (x)$を任意にとります．$\pi$は局所位相同型だから，$p$の近傍$U$があり，$\pi|_U:U \to \pi(U) = W$は位相同型となります．したがって，$W$は$x$の開近傍であり，$s = (\pi|_U)^{-1} \in \Gamma(W; \mathscr{F})$は$s(x) = p$を満たします．このことから次の3つの補題が証明されます：

補題1$W \subset X$を開集合とする．$s \in \Gamma(W;\mathscr{F})$ならば，$s : W \to \mathscr{F}$は開写像である．

補題2任意の$p \in \mathscr{F}$に対し，$\pi(p)$のある近傍で定義された切断で$p$を通るものが存在する．

補題3$ \{ s(W) ; s \in \Gamma(W;\mathscr{F}) , W は X の開集合 \}$は$\mathscr{F}$の開集合の基底をなす．

$s \in \Gamma(W;\mathscr{F}$であれば，$s - s $も$W$上の$\mathscr{F}$の切断であり，$s$によらず定まります．これを$\mathscr{F}$のゼロ切断(zero section)といい，$0 : W \to \mathscr{F}$で表します．$0(x)$とは，Abel群$\mathscr{F}_x = \pi^{-1}(x)$のゼロ元に他なりません．

$i : \mathscr{F}^\prime \to \mathscr{F}$が層の準同型であるとします．このとき，$\mathrm{Im} i = i(\mathscr{F}^\prime) $は$\mathscr{F}$の部分層です．また，$\mathrm{Ker} i \subset \mathscr{F}^\prime$は，$i$で$\mathscr{F}$のゼロ切断の像$\{ 0(x); x \in X \} $にうつる$\mathscr{F}^\prime $の元から成ります．切断の像は開集合なので，$\mathrm{Ker} i$は開集合の連続写像による逆像だから開集合であり，したがって$\mathscr{F}^\prime$の部分層となっています．

層の準同型からなる完全列を考えることもできます．$$\mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F} \xrightarrow{h} \mathscr{F}^{\prime \prime}$$が（第二項において）完全であるとは，$$\mathrm{Im} i = \mathrm{Ker} h$$であることと定義します．$$ 0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F} \xrightarrow{h} \mathscr{F}^{\prime \prime} \rightarrow 0$$が完全列であるための必要十分条件は，$\mathscr{F}^\prime$が$\mathscr{F}$の部分層（と同型）であり，$\mathscr{F}^{\prime \prime}$が商層$\mathscr{F} / \mathscr{F}^\prime $（と同型）であることです．

切断に話題を戻します．$Y^\prime \subset Y$であれば，$Y$上の$\mathscr{F}$の切断$s \in \Gamma(Y;\mathscr{F})$を$Y^\prime$に制限することにより，$Y^\prime$上の$\mathscr{F}$の切断$$S|_{Y^\prime} \in \Gamma(Y^\prime ; \mathscr{F})$$が定まります．これを，$s$の$Y^\prime$への制限(restriction)といいます．
次の補題が成り立ちます：

補題4$W_1, W_2 \subset X$を開集合とする．$s_j \in \Gamma(W_j ; \mathscr{F}) , j = 1,2$として，$$W_0 = \{ x \in W_1 \cap W_2 ; s_1(x) = s_2(x) \}$$とおけば，$W_0$は$X$の開集合である．

(証明) $W = W_1 = W_2$と仮定してよい．$s = s_1 - s_2 \in \Gamma(W; \mathscr{F})$とおけば，$$W_0 = s^{-1} \{ 0(x) ; x \in W \}$$は開集合の連続写像による逆像なので開集合である．■

層は一般にはHausdorffの分離公理を満たすとは限りませんが，次の命題が成立します：

命題1層$\mathscr{F}$がHausdorffの分離公理を満たすための必要十分条件は，任意の$W_1, W_2 \subset X $と$s_j \in \Gamma(W_j ,\mathscr{F}) , j = 1,2 $に対し，上に定めた$W_0$が$W_1 \cap W_2$の閉集合となることである．

次回に続きます．