Rei Frontier Tech Blog

人工知能を活用した位置情報分析プラットフォーム「SilentLog Analytics」を運営する、レイ・フロンティア株式会社のエンジニアメンバーで運営する技術ブログです。

Brown運動と確率積分:その2

レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
前回の記事の続きを書いていきます。

Brown運動のHölder連続性

\( (B_t)_{t \geq 0}\)をBrown運動とします。
前記事で触れたように、Brown運動のsample pathは確率1で連続ですが無限の全変動をもちます。その他にも、確率1でいたるところ微分不可能であり、もっと詳しくいうと、1/2次Hölder連続よりもやや悪いくらいの連続性をもつことが知られています。本記事ではこれを示します。

次の定理を示します:

定理2.(Brown運動のHölder連続性)Brown運動\( (B_t)_{t \geq 0}\)に対して、$$\lim_{h \to 0} \sup_{\substack{0 \leq |s-t| \leq h \\ 0 \leq s,t \leq 1}}\frac{|B_s(\omega) - B_t(\omega)|}{\sqrt{2h\log 1/h}} = 1 \ \text{a.s.}$$が成り立つ。
(証明) まず下からの評価を示す。\(g(h) := \sqrt{2h\log 1/h}\)とおく。\(\forall \varepsilon > 0\)に対して、$$\begin{align} &P \left( \max_{1 \leq k \leq 2^n} \{ B_{k/2^n}(\omega) - B_{(k-1)/2^n}(\omega) \} \leq (1 - \varepsilon ) g(1/2^n) \right) \\ &= \left( 1 - \int_{(1 - \varepsilon) \sqrt{2 \log 2}\sqrt{n}} p(1,x)\, dx \right)^{2^n}\ (\because 定義1(iii)より)\\ & = (1 - I_n)^{2^n}\ (積分を I_n とおいた)\\ &< \exp(-2^n I_n) . \end{align}$$ここで、部分積分により、実数\(a > 0\)に対して、$$\int_a^\infty e^{-x^2/2}\, dx = \int_a^\infty \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \left( e^{-x^2/2} \right)^\prime\, dx = \frac{e^{-a^2/2}}{a} - \int_a^\infty \frac{1}{x^2} e^{-x^2/2}\, dx$$より、$$\frac{e^{-a^2/2}}{a} \geq \int_a^\infty e^{-x^2/2}\, dx \geq \frac{e^{-a^2/2}}{a} - \frac{1}{a^2} \int_a^\infty e^{-x^2/2}\, dx$$したがって$$\frac{e^{-a^2/2}}{a} \geq \int_a^\infty e^{-x^2/2}\, dx \geq \frac{e^{-a^2/2}}{a + 1/a} \qquad \cdots (\ast)$$を得る。これを用いると、十分大きな\(n\)について$$2^nI_n \geq Const. \times \frac{2^n}{\sqrt{n}}\exp(-(1 - \varepsilon)^2 \log 2 \times n) \geq 2^{\delta n} ,\ \delta > 0$$がいえる。\(exp(-2^{\delta n})\) は収束級数の一般項なので、Borel-Cantelliの補題により、$$P\left( \max_{1 \leq k \leq 2^n} \{ B_{k/2^n}(\omega) - B_{(k-1)/2^n}(\omega) \} \leq (1 - \varepsilon ) g(1/2^n)\ \text{i.o.} \right) = 0.$$これは$$\liminf_{n \to \infty} \max_{1 \leq k \leq 2^n} \frac{ B_{k/2^n}(\omega) - B_{(k-1)/2^n}(\omega) }{g(1/2^n)} > 1 - \varepsilon \quad \text{a.s.}$$を意味するが、$$\lim_{h \to 0} \sup_{\substack{0 \leq |s-t| \leq h \\ 0 \leq s,t \leq 1}}\frac{|B_s(\omega) - B_t(\omega)|}{\sqrt{2h\log 1/h}} \geq \liminf_{n \to \infty} \max_{1 \leq k \leq 2^n} \frac{ B_{k/2^n}(\omega) - B_{(k-1)/2^n}(\omega) }{g(1/2^n)}$$であり、\(\varepsilon > 0\)は任意だったので、下からの評価はいえた。
次に上からの評価を示す。\(\forall \varepsilon > 0\)について、\(\delta\)を\( (1 + \varepsilon)^2 > (1 + \delta)/(1 - \delta)\)をみたすように十分小さくとる。このとき、$$\begin{align}&P \left( \max_{\substack{1 \leq k = j - i \leq 2^{\delta n} \\ 0 \leq k < j \leq 2^n}} |B_{j / 2^n}(\omega) - B_{i / 2^n}(\omega)| \geq (1 + \varepsilon) g(k/2^n) \right) \\ &\leq \sum_{\substack{1 \leq k = j - i \leq 2^{\delta n} \\ 0 \leq k < j \leq 2^n}} 2 \int_{(1 + \varepsilon) \sqrt{2 \log (2^n / k)}}^\infty p(1,x)\, dx \quad (\because 定義 1 (iii)) \\&\leq Const. \times \frac{2^{(1 + \delta) n}2^{-(1 - \delta)(1 + \epsilon)^2 n}}{\sqrt{n}}\quad (\because 不等式(\ast))\\ &\leq \frac{2^{-\gamma n}}{\sqrt{n}},\quad \gamma > 0 \qquad (\because \delta のとり方から) \end{align}$$がいえる。\(2^{-\gamma n}/\sqrt{n}\)は収束級数の一般項なので、Borel-Cantelliの補題により、確率1で\(n_0 = n_0(\omega)\)が存在して、\(\forall n \geq n_0, \forall (j - i) = k \leq 2^{\delta n}\)に対して、$$|B_{j / 2^n}(\omega) - B_{i / 2^n}(\omega)| \leq (1 + \varepsilon)g(k/2^n)$$が成り立つ。いま、実数\(s,t\)を\(0 \leq s \leq t, 2^{-(n+1)(1-\delta)}\leq t - s \leq 2^{-n(1 - \delta)}\)となるようにとる。\(s,t\)を「2進数展開」し、$$\begin{align} & s = i/2^n - 1/2^{p_1} - 1/2^{p_2} - \cdots \quad (i,p_1,p_2, \dots は正整数, n < p_1 < p_2 < \cdots) \\& t = j/2^n + 1/2^{q_1} + 1/2^{q_2} - \cdots \quad (j,q_1,q_2, \dots は正整数, n < q_1 < q_2 < \cdots) \end{align}$$と表現すれば、\(i,j\)は\(s\leq i/2^n \leq j/2^n \leq t , 0 < k = j - i \leq (t - s) 2^n < 2^{\delta n}\)をみたす。\(s,t\)の最初の\(m\)項で打ち切った部分和を\(s_m , t_m\)とおけば、三角不等式により$$\begin{align}|B_t(\omega) - B_s(\omega)| &\leq \sum_{m = 1}^\infty |B_{t_{m+1}}(\omega) - B_{t_m}(\omega)| + |B_{i / 2^n}(\omega) - B_{j/2^n}(\omega)| + \sum_{m = 1}^\infty |B_{s_{m+1}}(\omega) - B_{s_m}(\omega)|\\ &\leq \sum_{p = n+1}^\infty (1 + \varepsilon) g(1/2^p) + (1 + \varepsilon) g(k/2^n) + \sum_{q = n+1}^\infty (1 + \varepsilon) g(1/2^q) \end{align}$$となる。十分大きい\(n\)に対して、$$\begin{align} \sum_{p = n+1}^\infty g(1/2^p) &= \sum_{p = n+1}^\infty \sqrt{2 \log 2 \cdot p/2^p} \\ &\leq \sum_{p=n+1}^\infty Const. \times \left( \sqrt{2 \log 2 \cdot p/2^p} - \sqrt{2 \log 2 \cdot (p-1)/2^{p-1}} \right)\\ &= Const. \times \sqrt{2 \log 2 \cdot n/2^n} \\ &= Const. \times g(1/2^n) \\ &< \varepsilon g(2^{-(n+1)(1-\delta)}) \end{align}$$したがって、$$|B_t(\omega) - B_s(\omega)| < (1 + 3 \varepsilon + 2 \varepsilon^2) g(t-s)$$を得る。これは$$\lim_{h \to 0} \sup_{\substack{0 \leq |s-t| \leq h \\ 0 \leq s,t \leq 1}}\frac{|B_s(\omega) - B_t(\omega)|}{\sqrt{2h\log 1/h}} \leq 1 + 3 \varepsilon + 2 \varepsilon^2$$を意味し、\(\varepsilon > 0\)は任意だったため上からの評価もいえた。■

定理2から、各\(t \in (0,\infty)\)に対して\(\frac{B_{t+h} - B_t}{h}\)は\(h \to 0\)で発散することがわかります。これまでの考察から、Brown運動は確率1で、「連続であるが、いたるところ微分不可能であり、任意の区間で無限に変動する」という、「普通の連続関数」とは異質なふるまいをすることがわかります。

Brown運動の微小変化

確率解析の理論においては、次の定理も重要です:

定理3.(Brown運動の2次変分)\(T > t > 0\)を固定し、\(\Delta_n = \{ 0 \leq t_1^{(n)} < t_2^{(n)} < \cdots \}, n = 1,2,\dots \)を区間\([0,T]\)の分割の列とし、\(\Delta_n(t) = \{ t_k^{(n)} \in \Delta_n ; t_k^{(n)} \leq t \} , |\Delta_n| = \sup_k |t_k^{(n)} - t_{k-1}^{(n)}| < \infty\)とする。このとき、$$\sum_{n = 1}^\infty |\Delta_n| < \infty$$ならば$$\lim_{n \to \infty}\sum_{t_k^{(n)} \in \Delta_n(t)}|B_{t_k^{(n)}}(\omega) - B_{t_{k-1}^{(n)}}(\omega)|^2 = t \qquad \text{a.s.}$$である。
(証明)$$V_n := \sum_{t_k^{(n)} \in \Delta_n(t)}\left( |B_{t_k^{(n)}} - B_{t_{k-1}^{(n)}}|^2 - (t_k^{(n)} - t_{k-1}^{(n)}) \right)$$とおく。定義1(iii)より、$$(E[V_n^2] = 2 \sum_{t_k^{(n)} \in \Delta_n(t)}(t_k^{(n)} - t_{k-1}^{(n)}) \leq 2 |\Delta_n| \sum_{t_k^{(n)} \in \Delta_n(t)}(t_k^{(n)} - t_{k-1}^{(n)}) \leq 2 t |\Delta_n|$$と計算できるから、仮定より、$$E\left[ \sum_{n=1}^\infty V_n^2 \right] = \sum_{n=1}^\infty E[V_n^2] \leq 2 t \sum_{n=1}^\infty |\Delta_n| < \infty . $$したがって、$$\sum_{n = 1}^\infty V_n^2 < \infty \qquad \text{a.s.}$$ゆえに、$$\lim_{n \to \infty} V_n = 0 \qquad \text{a.s.}.$$これと\(\sum_{t_k^{(n)} \in \Delta_n(t)}(t_k^{(n)} - t_{k-1}^{(n)}) \to t\)から結論が得られる。■

この結果は、標語的に言えば\(\int_0^t (dB_t)^2 = t\)ということで、微分の形で書けば$$(dB_t)^2 = dt$$となり、「Brown運動は時間変化の1/2乗くらいのひろがりをもつ」ということを意味します。このことは、今までに示してきた、

  • 共分散\(E[B_tB_s]\)が\(O(t)\)となること(命題1)
  • Brown運動の性質が時間を\(c^2\)倍に縮めて変異を\(c\)倍に伸ばすと保持されること(命題2)
  • 拡散方程式\(u_t = 1/2 u_{xx}\)の解が自然に得られること(命題3)
  • 各\( (B_t(\omega) )\)は1/2次くらいのHölder連続性をもつこと(定理2)

など様々な事実から類推されることですが、厳密には確率積分の理論によって定式化され、伊藤の公式とし知られています。

次回に続きます。