Rei Frontier Tech Blog

人工知能を活用した位置情報分析プラットフォーム「SilentLog Analytics」を運営する、レイ・フロンティア株式会社のエンジニアメンバーで運営する技術ブログです。

層の理論:その4

レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です.
前回の続きを書いていきます.

層係数コホモロジー(続)

定義13.(コホモロジー)\(\mathscr{F}\)を\(X\)上の層,\(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^\ast (\mathscr{F})\)を\(\mathscr{F}\)の標準的軟弱分解とする.このとき,
$$\begin{align} Z_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= \mathrm{Ker}\{ \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^p(\mathscr{F})) \to \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^{p+1}(\mathscr{F})) \}\\
B_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= \mathrm{Im}\{ \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^{p-1}(\mathscr{F})) \to \Gamma_\Phi (X; \mathscr{C}^p(\mathscr{F})) \} \\
H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) &= Z_\Phi^p(X;\mathscr{F}) / B_\Phi^p(X;\mathscr{F}) \end{align}$$とおく.ここで,\(\mathscr{C}^{-1}(\mathscr{F}) = 0\)と約束する.\(H_\Phi^p(X;\mathscr{F})\)を,\(\mathscr{F}\)に係数をもち\(\Phi\)に台をもつ\(p\)次のコホモロジー群(cohomology group)という.

コホモロジー群の基本的な性質を示すために,ホモロジー代数の一般論から以下の補題を用意します(詳細は,例えば一松信『多変数解析函数論』p.181を見よ):

補題5.いま,$$0 \rightarrow A^\ast \xrightarrow{\mu} B^\ast \xrightarrow{\nu} C^\ast \rightarrow 0$$が複体の完全列とすれば,次のコホモロジー群の完全列が定義できる:$$\begin{align}
0 &\rightarrow H^0(A^\ast) \rightarrow H^0(B^\ast) \rightarrow H^0(C^\ast) \\ &\rightarrow H^1(A^\ast) \rightarrow H^1(B^\ast) \rightarrow H^1(C^\ast) \\ &\rightarrow H^2(A^\ast) \rightarrow H^2(B^\ast) \rightarrow H^2(C^\ast) \\ &\rightarrow H^3(A^\ast) \rightarrow \cdots \end{align}$$

定理3. (i) \(H_\Phi^0(X;\mathscr{F}) = \Gamma_\Phi (X; \mathscr{F})\) である.
(ii) 完全列$$0 \rightarrow \mathscr{F}^\prime \xrightarrow{i} \mathscr{F} \xrightarrow{h} \mathscr{F}^{\prime \prime} \rightarrow 0 \qquad \cdots (\ast)$$が与えられれば,次の長完全列が存在する:$$\begin{align}0 &\rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}^\prime) \rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}) \rightarrow H_\Phi^0(X;\mathscr{F}^{\prime \prime}) \\ &\rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}^\prime) \rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}) \rightarrow H_\Phi^1(X;\mathscr{F}^{\prime \prime}) \\ &\rightarrow H_\Phi^2(X;\mathscr{F}^\prime ) \rightarrow \cdots \cdots \end{align}$$
(iii) 各行が層の完全列よりなる可換図式
f:id:reifrontier:20180205145225p:plain:w300
が与えられたとき,次の図式は可換である:
f:id:reifrontier:20180205145608p:plain:w400
(iv) \(\mathscr{F}\)が軟弱層ならば,$$H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) = 0 ,\ p>0$$.
(証明) (i) \( 0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{C}^0(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^1(\mathscr{F})\)の完全性により,つぎの完全性がしたがう:$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^0(\mathscr{F})) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^1(\mathscr{F}))$$(命題2).これが示すべきことである.
(ii) 定理1と定理2を組み合わせることにより,次の可換図式の各業の完全性が導かれる:
f:id:reifrontier:20180205145902p:plain:w500
これと補題5から長完全列が構成できる.
(iii) 明らか.
(iv) \(\mathscr{F}\)の標準的軟弱分解において,\(\mathscr{F}\)を含めすべての項が軟弱層である.ゆえに,系3により,$$0 \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{F}) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^0(\mathscr{F})) \rightarrow \Gamma_\Phi(X;\mathscr{C}^1(\mathscr{F}))$$は完全列である.これが示すべきことである.■

定義14.(層の複体)層の複体(complex)とは,層\(\mathscr{L}^p ,\ p = 0,1,2,\ldots\)と準同型\(d^{\prime \prime}: \mathscr{L}^p \to \mathscr{L}^{p+1}\)の列$$0 \rightarrow \mathscr{L}^0 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^1 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^2 \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \cdots$$で,\(d^{\prime \prime} \circ d^{\prime \prime} = 0\)なるものをいう.このとき,\(\mathscr{L}^\ast\)の\(p\)次のコホモロジー群とは,$$\mathscr{H}^p(\mathscr{L}^\ast) = \mathrm{Ker}(\mathscr{L}^p \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^{p+1}) / \mathrm{Im}(\mathscr{L}^{p-1} \xrightarrow{d^{\prime \prime}} \mathscr{L}^p)$$なる商層のことである.

いま,\(\mathscr{C}^\ast(\mathscr{L}^q)\)を\(\mathscr{L}^q\)の標準的軟弱分解とし,$$\begin{align} d^\prime &: \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^q) \to \mathscr{C}^{p+1}(\mathscr{L}^q) \\ d^{\prime \prime} &: \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^q) \to \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^{q+1}) \end{align}$$を準同型とすると,$$K^{p,q} = \Gamma_\Phi(X, \mathscr{C}^\ast(\mathscr{L}^q)) ,\ K = \bigoplus _{p,q} K^{p,q} \qquad \cdots ( \natural )$$なる2重複体を考えることができます.

定理4.\(\mathscr{F}\)を\(X\)上の層とする.$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots$$を\(\mathscr{F}\)のある分解,すなわち\(\mathscr{F}\)上の完全な複体とする.\(q = 0,1,2,\ldots\)に対し,$$H_\Phi^p(X;\mathscr{L}^q) = 0$$が成立すれば,$$H_\Phi^p(X;\mathscr{F}) = H^p(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast)) \quad q \geq 0$$が成立する.ここで,\(H^p(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast))\)は複体\(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{L}^\ast)\)の\(p\)次のコホモロジー群を表す.
(証明) \( (\natural)\)の記号のもとで,以下の可換図式を考える.ただし,\(\Gamma_\Phi(X;\mathscr{F})\)を\(\Gamma_\Phi(\mathscr{F})\)と書くように,\(X\)を省略している:
f:id:reifrontier:20180205151832p:plain:w600
コホモロジー群に関する仮定により,第二列以降の列はすべて完全である.また,\(\mathscr{C}^p(\mathscr{F})\)は軟弱であり,定理2により\(p = 0,1,2,\ldots\)に対し,$$0 \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{F}) \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^0) \rightarrow \mathscr{C}^p(\mathscr{L}^1) \rightarrow \cdots$$は完全であるから,定理3(iv)により第一列のコホモロジー群と第一行のコホモロジー群は同型になる.これより結論を得る.■

系4.$$0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots$$を層\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とすれば,定理4の同型が成立する.
(証明) 定理3(iv)により,定理4の仮定が成り立つ.■

相対コホモロジー群

定義15.(相対コホモロジー)\(S\)を位相空間\(X\)の部分集合とするとき,$$\Phi_S = \{ A \subset X ; A \subset S かつ A は X で閉 \}$$は\(X\)で台の族をなす.この\(\Phi_S\)で$$H_S^p(X;\mathscr{F}) = H_{\Phi_S}^p(X;\mathscr{F})$$と定義し,\(S\)に台をもち\(\mathscr{F}\)に係数をもつ\(X\)の\(p\)次の相対コホモロジー群(relative cohomology group)という.\(S=X\)のときは次のように書く:$$H^p(X;\mathscr{F}) = H_X^p(X;\mathscr{F})$$

以下では,\(S\)が\(X\)の閉集合の場合のみ\(H_S^p(X;\mathscr{F})\)を考察することにします.もし\(S\)が閉集合ならば,\(\Phi_S\)は\(S\)の閉部分集合の全体と一致します.
相対コホモロジー群は,定理3の性質の他に,次の性質をもちます:

定理5.(切除定理)\(S \subset X\)を局所閉,\(W_1 , W_2\)を\(S\)の開近傍とする.このとき,$$H_S^p(W_1;\mathscr{F}) \cong H_S^p(W_2;\mathscr{F})$$なる同型がある.
(証明) \(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^0 \rightarrow \mathscr{L}^1 \rightarrow \cdots \)を\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とする.系4により,\(j = 1,2\)に対して$$H_S^p(W_j;\mathscr{F}) = H^p(\Gamma_S(W_j;\mathscr{L}^\ast))$$ゆえに\(\Gamma_S(W_1;\mathscr{L}^k) \cong \Gamma_S(W_2;\mathscr{L}^k)\)より望んでいた同型が得られる.■

定義16.\(S \subset X\)は局所閉とする.$$H^p[S;\mathscr{F}] = \mathrm{ind-}\lim_{W \in \mathfrak{R}(S)}H_S^p(W;\mathscr{F})$$とおく.ここで\(\mathfrak{R}(S)\)は\(S\)の開近傍全体を表す.
切除定理により,\(W \in \mathfrak{R}(S)\)に対して標準的写像$$H_S^p(W;\mathscr{F}) \overset{\sim}\longrightarrow H^p[S;\mathscr{F}]$$は同型です.また,とくに\(S\)が開集合であれば$$H^p(S;\mathscr{F}) \cong H^p[S;\mathscr{F}]$$が成り立ちます.

定理6. (i) \(S \subset X\)を局所閉,\(W \in \mathfrak{R}(S)\)とする.このとき,次の長完全列がある:$$\begin{align} 0 &\rightarrow H_S^0(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^0(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^0(W\setminus S;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_S^1(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^1(W;\mathscr{F}) \rightarrow H^1(W\setminus S;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_S^2(W;\mathscr{F}) \rightarrow \cdots \end{align}$$ (ii) \(W_1 \supset W_2 \supset W_3\)を\(X\)の開集合とすれば,次の列は完全である:$$\begin{align} 0 &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^0(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_1 \setminus W_3}^0(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_2 \setminus W_3}^0(W_2;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^1(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_1 \setminus W_3}^1(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow H_{W_2 \setminus W_3}^1(W_2;\mathscr{F}) \\ &\rightarrow H_{W_1 \setminus W_2}^2(W_1;\mathscr{F}) \rightarrow \cdots \end{align}$$
(証明) \(\mathscr{L}\)が軟弱層であるとすれば,系1より,列$$0 \rightarrow \Gamma_S(W;\mathscr{L}) \rightarrow \Gamma(W;\mathscr{L}) \rightarrow \Gamma_S(W\setminus S;\mathscr{L}) \rightarrow 0$$は完全である.したがって,\(0 \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}^\ast\)を\(\mathscr{F}\)の軟弱分解とすれば,次の複体の列は完全である:$$0 \rightarrow \Gamma_S(W;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma(W;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_S(W\setminus S;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow 0$$ゆえに,補題5によりコホモロジー群の長完全列を得る.
(ii) 複体の完全列$$0 \rightarrow \Gamma_{W_1 \setminus W_2}(W_1;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_{W_1 \setminus W_3}(W_1;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow \Gamma_{W_2 \setminus W_3}(W_2;\mathscr{L}^\ast) \rightarrow 0$$により結論を得る.■

系5.\(S_1 \subset X\)を局所閉,\(S_2 \subset S_1\)を\(S_1\)の閉部分集合とする.このとき,次は完全列である:$$\begin{align} 0 &\rightarrow H^0[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow H^0[S_1;\mathscr{F}] \rightarrow H^0[S_1\setminus S_2;\mathscr{F}] \\ &\rightarrow H^1[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow H^1[S_1;\mathscr{F}] \rightarrow H^1[S_1\setminus S_2;\mathscr{F}] \\ &\rightarrow H^2[S_2;\mathscr{F}] \rightarrow \cdots \end{align}$$
(証明2) \(S_1 = W_1 \setminus W_3 ,\ S_2 = W_1 \setminus W_2\)となるように\(W_1 \supset W_2 \supset W_3\)を選び,定理6(ii)を用いればよい.■

参考文献

[1] 森本光生(1976), "佐藤超関数入門", 共立出版